Math.ulp() 为测试提供一个实用的用途。很明显，我们一般不会比较两个浮点数是否完 全相等。相反，我们检查它们是否在一定的容错范围内相等。例如，在 JUnit 中，像以下这 样比较预期的实际浮点值：

assertEquals(expectedValue, actualValue, 0.02);

这表明实际值与预期值的偏差在 0.02 之内。但是，0.02 是合理的容错范围吗？如果预 期值是 10.5 或 -107.82，则 0.02 是完全可以接受的。但当预期值为几十亿时，0.02 则与 0 没有什么区别。通常，就 ULP 进行测试时考虑的是相对错误。一般选择的容错范围在 1 至 10 ULP 之间，具体情况取决于计算所需的精度。例如，下面指定实际结果必须在真实值 的 5 个 ULP 之内：

assertEquals(expectedValue, actualValue, 5*Math.ulp (expectedValue));

根据期望值不同，这个值可以是万亿分之一，也可以是数百万。

浮点数的有限精度会导致一个难以预料的结果：超过某个点时，x+1 == x 便是真的。例 如，下面这个简单的循环实际上是无限的：

for (float x = 16777213f; x < 16777218f; x += 1.0f) { 　　 System.out.println(x); }

实际上，这个循环将在一个固定的点上停下来，准确的数字是 16,777,216。这个数字等 于 2²⁴，在这个点上，ULP 比增量大。

scalb

Math.scalb(x, y) 用 2^y 乘以 x，scalb 是 “scale binary（二进法）” 的缩写。

public static double scalb(float f, int scaleFactor) public static double scalb(double d, int scaleFactor)

Java Math 类中的新功能，第 2 部分: 浮点数(5)

例如，Math.scalb(3, 4) 返回 3 * 2⁴，即 3*16，结果是 48.0。也可以使 用 Math.scalb() 来实现 getMantissa()：

public static double getMantissa(double x) { 　　 int exponent = Math.getExponent(x); 　　 return x / Math.scalb(1.0, exponent); }

Math.scalb() 和 x*Math.pow(2, scaleFactor) 的区别是什么？实际上，最终的结果是 一样的。任何输入返回的值都是完全一样的。不过，性能方面则存在差别。Math.pow() 的性 能是非常糟糕的。它必须能够真正处理一些非常少见的情况，比如对 3.14 采用幂 -0.078。 对于小的整数幂，比如 2 和 3（或以 2 为基数，这比较特殊），通常会选择完全错误的算 法。

我担心这会对总体性能产生影响。一些编译器和 VM 的智能程度比较高。一些优化器会将 x*Math.pow(2, y) 识别为特殊情况并将其转换为 Math.scalb(x, y) 或类似的东西。因此性 能上的影响体现不出来。不过，我敢保证有些 VM 是没有这么智能的。例如，使用 Apple 的 Java 6 VM 进行测试时，Math.scalb() 几乎总是比 x*Math.pow(2, y) 快两个数量级。当然 ，这通常不会造成影响。但是在特殊情况下，比如执行数百万次求幂运算时，则需要考虑能 否转换它们以使用 Math.scalb()。

Copysign

Math.copySign() 方法将第一个参数的标记设置为第二个参数的标记。最简单的实现如清 单 4 所示：

清单 4. 可能实现的 copysign 算法

public static double copySign(double magnitude, double sign) { 　　 if (magnitude == 0.0) return 0.0; 　　 else if (sign < 0) { 　　 if (magnitude < 0) return magnitude; 　　 else ret

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