Java Math 类中的新功能，第 2 部分: 浮点数

Java™ 语言规范第 5 版向 java.lang.Math 和 java.lang.StrictMath 添加了 10 种新方法，Java 6 又添加了 10 种。这个共两部分的系列文章的 第 1 部分 介绍了很有意 义的新的数学方法。它提供了在还未出现计算机的时代中数学家比较熟悉的函数。在第 2 部 分中，我主要关注这样一些函数，它们的目的是操作浮点数，而不是抽象实数。

就像 我在 第 1 部分中 提到的一样，实数（比如 e 或 0.2）和它的 计算机表示（比如 Java double）之间的区别是非常重要的。最理想的数字应该是无限精确 的，然而 Java 表示的位数是固定的（float 为 32 位，double 为 64 位）。float 的最大 值约为 3.4*10³⁸。这个值还不足以表示某些东西，比如宇宙中的电子数目。

double 的最大值为 1.8*10³⁰⁸，几乎能够表示任何物理量。不过涉及到 抽象数学量的计算时，可能超出这些值的范围。例如，光是 171! (171 * 170 * 169 * 168 * ... * 1) 就超出了 double 最大值。float 只能表示 35! 以内的数字。非常小的数（值 接近于 0 的数字）也会带来麻烦，同时涉及到非常大的数和非常小的数的计算是非常危险的 。

为了处理这个问题，浮点数学 IEEE 754 标准（参见 参考资料）添加了特殊值 Inf 和 NaN，它们分别表示无穷大（Infinity）和非数字（Not a Number）。IEEE 754 还定 义了正 0 和负 0（在一般的数学中，0 是不分正负的，但在计算机数学中，它们可以是正的 ，也可以是负的）。这些值给传统的原理带来了混乱。例如，当使用 NaN 时，排中律就不成 立了。x == y 或 x != y 都有可能是不正确的。当 x 或 y 为 NaN 时，这两个式子都不成 立。

除了数字大小问题外，精度是一个更加实际的问题。看看这个常见的循环，将 1.0 相加 10 次之后等到的结果不是 10，而是 9.99999999999998：

for (double x = 0.0; x <= 10.0; x += 0.1) { 　　 System.err.println(x); }

对于简单的应用程序，您通常让 java.text.DecimalFormat 将最终的输出格式化为与其 值最接近的整数，这样就可以了。不过，在科学和工程应用方面（您不能确定计算的结果是 否为整数），则需要加倍小心。如果需要在特别大的数字之间执行减法以得到较小的数字， 则需要万分 小心。如果以特别小的数字作为除数，也需要加以注意。这些操作能够将很小的 错误变成大错误，并给现实应用带来巨大的影响。由有限精度浮点数字引起的很小的舍入错 误就会严重歪曲数学精度计算。

浮点数和双精度数字的二进制表示

由 Java 实现的 IEEE 754 浮点数有 32 位。第一位是符号位，0 表示正，1 表示负。接 下来的 8 位表示指数，其值的范围是 -125 到 +127。最后的 23 位表示尾数（有时称为有 效数字），其值的范围是 0 到 33,554,431。综合起来，浮点数是这样表示的： sign * mantissa * 2^exponent 。

敏锐的读者可能已经注意到这些数字有些不对劲。首先，表示指数的 8 位应该是从 -128 到 127，就像带符号的字节一样。但是这些指数的偏差是 126，即用不带符号的值（0 到 255）减去 126 获得真正的指数（现在是从 -126 到 128）。但是 128 和 -126 是特殊值。 当指数都是 1 位（128）时，则表明这个数字是 Inf、-Inf 或 NaN。要确定具体情况，必须 查看它的尾数。当指数都是 0 位（-126）时，则表明这个数字是不正常的（稍后将详细介绍 ），但是指数仍然是 -125。

尾数一般是一个 23 位的不带符号的整数 — 它非常简单。23 位可以容纳 0 到 2²⁴-1，即 16,777,215。等一下，我刚才是不是说尾数的范围是从 0 到 33,554,431？即 2²⁵-1。多出的一位是从哪里来的？

因此，可以通过指数表示第 1 位是什么

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